std::legendre, std::legendref, std::legendrel

 

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bit_floor (C++20)

bit_width (C++20)

rotl (C++20)

rotr (C++20)

countl_zero (C++20)

countl_one (C++20)

countr_zero (C++20)

countr_one (C++20)

popcount (C++20)

endian (C++20)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel  assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl  cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

在标头 <cmath> 定义
	(1)
float       legendre ( unsigned int n, float x ); double      legendre ( unsigned int n, double x ); long double legendre ( unsigned int n, long double x );			(C++17 起) (C++23 前)
/* 浮点类型 */ legendre( unsigned int n, /* 浮点类型 */ x );			(C++23 起)
float       legendref( unsigned int n, float x );		(2)	(C++17 起)
long double legendrel( unsigned int n, long double x );		(3)	(C++17 起)
额外重载
在标头 <cmath> 定义
template< class Integer > double      legendre ( unsigned int n, Integer x );		(A)	(C++17 起)

1-3) 以参数 x 计算 n 次非关联勒让德多项式。标准库提供所有以无 cv 限定的浮点类型作为参数 x 的类型的 std::legendre 重载。 (C++23 起)

A) 为所有整数类型提供额外重载，将它们当做 double。

参数

n	-	多项式的次数
x	-	参数，浮点或整数值

返回值

如果没有发生错误，那么返回 x 的 n 阶非关联勒让德多项式的值，即 \(\mathsf{P}_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathsf{d}^n}{\mathsf{d}x^n} (x^2-1)^n \)

1

2n n!

dn

dxn

(x2
-1)n
。

错误处理

可能报告 math_errhandling 中指定的错误

• 如果参数是 NaN，那么返回 NaN 且不报告定义域错误
• 不要求函数对 |x|>1 有定义
• 如果 n 大于或等于 128，那么行为由实现定义

注解

不支持 C++17，但支持 ISO 29124:2010 的实现在定义了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 时也会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现也会在标头 tr1/cmath 及命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的一种实现参考 boost.math。

前几个勒让德多项式是：

• legendre(0, x) = 1
• legendre(1, x) = x
• legendre(2, x) =

  1

  2

  (3x2
  -1)
• legendre(3, x) =

  1

  2

  (5x3
  -3x)
• legendre(4, x) =

  1

  8

  (35x4
  -30x2
  +3)

额外重载不需要以 (A) 的形式提供。它们只需要能够对它们的整数类型实参 num 确保 std::legendre(int_num, num) 和 std::legendre(int_num, static_cast<double>(num)) 的效果相同。

示例

运行此代码

#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P3(double x)
{
    return 0.5 * (5 * std::pow(x, 3) - 3 * x);
}
 
double P4(double x)
{
    return 0.125 * (35 * std::pow(x, 4) - 30 * x * x + 3);
}
 
int main()
{
    // 点检查
    std::cout << std::legendre(3, 0.25) << '=' << P3(0.25) << '\n'
              << std::legendre(4, 0.25) << '=' << P4(0.25) << '\n';
}

输出：

-0.335938=-0.335938
0.157715=0.157715

参阅

laguerrelaguerreflaguerrel (C++17)(C++17)(C++17)	拉盖尔多项式 (函数)
hermitehermitefhermitel (C++17)(C++17)(C++17)	埃尔米特多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. “勒让德多项式”来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource。